函数f(x)与xf(x)在[a,b]上连续,且f(x)与xf(x)在[a,b]上的定积分都==0,

假设f(x)在（a，b）上恒不等于0，则f(x)在（a，b）内恒正或恒负，根据积分不等式性质有 f（x）在（a，b）上的积分要么大于0，要么小于0.
这与f(x)在[a,b]上的定积分==0矛盾。故存在一点x1在（a，b）上，使f（x1）=0.
假设 f（x）在（a，b）内有一个零点x1，则 f(x)在[a,b]上的定积分 是等于f（x）在（a，x1）上的定积分 加上 f（x）在（x1，b）上的定积分
且f（x）在（a，x1）与（x1，b）每个区间内不变号。故有 f（x）在（a，x1）上的定积分 与 f（x）在（x1，b）上的定积分 互为相反数，而且不等于0.
从而f（x）在x1两边异号，所以 g（x）=（x - x1）×f（x）在两边同号，即g（x）在（a，b）内除一个零点x1外恒正或恒负，由g（x）的连续性可得
g（x）在[a,b]上的定积分 不等于零。 但是 g（x）在[a,b]上的定积分 是等于 xf(x)在[a,b]上的定积分 加上 x1倍的f(x)在[a,b]上的定积分，那么 g在[a,b]的定积分等于0。
矛盾，故在（a，b）内至少存在两点m，n，使得f(x)=0

打得密密麻麻，可能比较难看，抱歉！

假设f(x)在（a，b）上恒不等于0，则f(x)在（a，b）内恒正或恒负，根据积分不等式性质有 f（x）在（a，b）上的积分要么大于0，要么小于0.
这与f(x)在[a,b]上的定积分==0矛盾。故存在一点x1在（a，b）上，使f（x1）=0.
假设 f（x）在（a，b）内有一个零点x1，则 f(x)在[a,b]上的定积分 是等于f（x）在（a，x1）上的定积分 加上 f（x）在（x1，b）上的定积分
且f（x）在（a，x1）与（x1，b）每个区间内不变号。故有 f（x）在（a，x1）上的定积分 与 f（x）在（x1，b）上的定积分 互为相反数，而且不等于0.
从而f（x）在x1两边异号，所以 g（x）=（x - x1）×f（x）在两边同号，即g（x）在（a，b）内除一个零点x1外恒正或恒负，由g（x）的连续性可得
g（x）在[a,b]上的定积分 不等于零。 但是 g（x）在[a,b]上的定